integrantes
MONTOYA SILVA LUIS CARLOS.
HOMA VALENCIA MARCO ENMANUEL.
SEGUNDO VALDEZ MARIO ALBERTO.
MORALEZ LOPEZ JOSUE RUBEN.
1 ELECTROSTATICA.
La electrostática es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos producidos por distribuciones de cargas estáticas. La electrostática estudia las fuerzas eléctricas producidas por distribuciones de cargas a través de conceptos tales como el campo electrostático y el potencial eléctrico y de leyes físicas como la ley de Coulomb.
Históricamente la electrostática fue la rama del electromagnetismo que primero se desarrolló. Posteriormente, las leyes de Maxwell permitieron mostrar como las leyes de la electrostática y las leyes que gobernaban los fenómenos magnéticos pueden ser estudiados en el mismo marco teórico denominado electromagnetismo.
Históricamente la electrostática fue la rama del electromagnetismo que primero se desarrolló. Posteriormente, las leyes de Maxwell permitieron mostrar como las leyes de la electrostática y las leyes que gobernaban los fenómenos magnéticos pueden ser estudiados en el mismo marco teórico denominado electromagnetismo.
1.1 LA CARGA ELECTRICA Y SUS PROPIEDADES.
Principio de conservación de la carga:
En un proceso de electrización, el número total de protones y electrones no se altera y sólo hay una separación de las cargas eléctricas. Por tanto, no hay destrucción ni creación de carga eléctrica, es decir, la carga total se conserva. Pueden aparecer cargas eléctricas donde antes no había, pero siempre lo harán de modo que la carga total del sistema permanezca constante. Además esta conservación es local, ocurre en cualquier región del espacio por pequeña que sea.
Al igual que las otras leyes de conservación, la conservación de la carga eléctrica está asociada a una simetría del lagrangiano, llamada en física cuántica invariancia gauge. Así por el teorema de Noether a cada simetría del lagrangiano asociada a un grupo uniparamétrico de transformaciones que dejan el lagrangiano invariante le corresponde una magnitud conservada. La conservación de la carga implica, al igual que la conservación de la masa, que en cada punto del espacio se satisface una ecuación de continuidad que relaciona la derivada de la densidad de carga eléctrica con la divergencia del vector densidad de corriente eléctrica, dicha ecuación expresa que el cambio neto en la densidad de carga ρ dentro de un volumen prefijado V es igual a la integral de la densidad de corriente eléctrica J sobre la superficie S que encierra el volumen, que a su vez es igual a la intensidad de corriente eléctrica I:
Paul Dirac mostró que si existe un monopolo magnético la carga eléctrica debe estar cuantizada.
1.2 AISLANTES CONDUCTORES Y SEMICONDUCTORES.
Conductores: En los conductores sólidos la corriente eléctrica es transportada por el movimiento de los electrones; y en disoluciones y gases, lo hace por los iones.
Conductores sólidos: Metales
Características físicas:
o estado sólido a temperatura normal, excepto el mercurio que es líquido.
o opacidad, excepto en capas muy finas.
o buenos conductores eléctricos y térmicos.
o brillantes, una vez pulidos, y estructura cristalina en estado sólido.
o dureza o resistencia a ser rayados;
o resistencia longitudinal o resistencia a la rotura;
o elasticidad o capacidad de volver a su forma original después de sufrir deformación;
o maleabilidad o posibilidad de cambiar de forma por la acción del martillo; (puede batirse o extenderse en planchas o laminas)
o resistencia a la fatiga o capacidad de soportar una fuerza o presión continuadas
o ductilidad: permite su deformación forzada, en hilos, sin que se rompa o astille.
Características eléctricas:
o mucha resistencia al flujo de electricidad.
o todo átomo de metal tiene únicamente un número limitado de electrones de valencia con los que unirse a los átomos vecinos.
o La elevada conductividad eléctrica y térmica de los metales se explica así por el paso de electrones a estas bandas con defecto de electrones, provocado por la absorción de energía térmica.
o Ejemplos de metales conductores: Cobre. Este material es un excelente conductor de las señales eléctricas y soporta los problemas de corrosión causados por la exposición a la intemperie, por eso se usa para los cables. También el aluminio es un buen conductor. La más baja conductividad eléctrica la tiene el bismuto, y la más alta (a temperatura ordinaria) la plata.
Conductores líquidos:
· El agua, con sales como cloruros, sulfuros y carbonatos que actúan como agentes reductores (donantes de electrones), conduce la electricidad.
· Algunos otros líquidos pueden tener falta o exceso de electrones que se desplacen en el medio. Son iones, que pueden ser cationes, (+) o aniones (-).
Conductores gaseosos:
· Valencias negativas (se ioniza negativamente)
· En los gases la condición que implica el paso de una corriente se conoce como el fenómeno de descarga o "ruptura" eléctrica del gas: paso de un comportamiento no conductor (baja corriente) a conductor.
· Tienden a adquirir electrones
· Tienden a formar óxidos ácidos.
· Ejemplos: Nitrógeno, cloro, Neón (ionizados)
Semiconductores:
· Para incrementar el nivel de la conductividad se provocan cambios de temperatura, de la luz o se integran impurezas en su estructura molecular.
· Estos cambios originan un aumento del número de electrones liberados (o bien huecos) conductores que transportan la energía eléctrica.
· Los cuatro electrones de valencia (o electrones exteriores) de un átomo están en parejas y son compartidos por otros átomos para formar un enlace covalente que mantiene al cristal unido.
· Para producir electrones de conducción, se utiliza energía adicional en forma de luz o de calor (se maneja como temperatura), que excita los electrones de valencia y provoca su liberación de los enlaces, de manera que pueden transportar su propia energía.
· Cada electrón de valencia que se desprende de su enlace covalente deja detrás de sí un hueco, o dicho en otra forma, deja a su átomo padre con un electrón de menos, lo que significa entonces que en ese átomo existirá un protón de más.
· Las deficiencias o huecos que quedan contribuyen al flujo de la electricidad (se dice que estos huecos transportan carga positiva). Éste es el origen físico del incremento de la conductividad eléctrica de los semiconductores a causa de la temperatura.
· Los materiales extrínsecos se dividen en “tipo n” y “tipo p”.
La diferencia del número de electrones entre el material dopante (tanto si acepta como si confiere electrones) y el material receptor hace que crezca el número de electrones de conducción negativos o positivos.
Si aumenta el número de electrones de conducción negativos, entonces el material es tipo n; y si aumenta el numero de cargas positivas (lagunas), es un material tipo p.
Aislantes:
Presentan una resistencia al paso de corriente eléctrica hasta 2,5 × 1024 veces mayor que la de los buenos conductores eléctricos como la plata o el cobre.
Conductores sólidos: Metales
Características físicas:
o estado sólido a temperatura normal, excepto el mercurio que es líquido.
o opacidad, excepto en capas muy finas.
o buenos conductores eléctricos y térmicos.
o brillantes, una vez pulidos, y estructura cristalina en estado sólido.
o dureza o resistencia a ser rayados;
o resistencia longitudinal o resistencia a la rotura;
o elasticidad o capacidad de volver a su forma original después de sufrir deformación;
o maleabilidad o posibilidad de cambiar de forma por la acción del martillo; (puede batirse o extenderse en planchas o laminas)
o resistencia a la fatiga o capacidad de soportar una fuerza o presión continuadas
o ductilidad: permite su deformación forzada, en hilos, sin que se rompa o astille.
Características eléctricas:
o mucha resistencia al flujo de electricidad.
o todo átomo de metal tiene únicamente un número limitado de electrones de valencia con los que unirse a los átomos vecinos.
o La elevada conductividad eléctrica y térmica de los metales se explica así por el paso de electrones a estas bandas con defecto de electrones, provocado por la absorción de energía térmica.
o Ejemplos de metales conductores: Cobre. Este material es un excelente conductor de las señales eléctricas y soporta los problemas de corrosión causados por la exposición a la intemperie, por eso se usa para los cables. También el aluminio es un buen conductor. La más baja conductividad eléctrica la tiene el bismuto, y la más alta (a temperatura ordinaria) la plata.
Conductores líquidos:
· El agua, con sales como cloruros, sulfuros y carbonatos que actúan como agentes reductores (donantes de electrones), conduce la electricidad.
· Algunos otros líquidos pueden tener falta o exceso de electrones que se desplacen en el medio. Son iones, que pueden ser cationes, (+) o aniones (-).
Conductores gaseosos:
· Valencias negativas (se ioniza negativamente)
· En los gases la condición que implica el paso de una corriente se conoce como el fenómeno de descarga o "ruptura" eléctrica del gas: paso de un comportamiento no conductor (baja corriente) a conductor.
· Tienden a adquirir electrones
· Tienden a formar óxidos ácidos.
· Ejemplos: Nitrógeno, cloro, Neón (ionizados)
Semiconductores:
· Para incrementar el nivel de la conductividad se provocan cambios de temperatura, de la luz o se integran impurezas en su estructura molecular.
· Estos cambios originan un aumento del número de electrones liberados (o bien huecos) conductores que transportan la energía eléctrica.
· Los cuatro electrones de valencia (o electrones exteriores) de un átomo están en parejas y son compartidos por otros átomos para formar un enlace covalente que mantiene al cristal unido.
· Para producir electrones de conducción, se utiliza energía adicional en forma de luz o de calor (se maneja como temperatura), que excita los electrones de valencia y provoca su liberación de los enlaces, de manera que pueden transportar su propia energía.
· Cada electrón de valencia que se desprende de su enlace covalente deja detrás de sí un hueco, o dicho en otra forma, deja a su átomo padre con un electrón de menos, lo que significa entonces que en ese átomo existirá un protón de más.
· Las deficiencias o huecos que quedan contribuyen al flujo de la electricidad (se dice que estos huecos transportan carga positiva). Éste es el origen físico del incremento de la conductividad eléctrica de los semiconductores a causa de la temperatura.
· Los materiales extrínsecos se dividen en “tipo n” y “tipo p”.
La diferencia del número de electrones entre el material dopante (tanto si acepta como si confiere electrones) y el material receptor hace que crezca el número de electrones de conducción negativos o positivos.
Si aumenta el número de electrones de conducción negativos, entonces el material es tipo n; y si aumenta el numero de cargas positivas (lagunas), es un material tipo p.
Aislantes:
Presentan una resistencia al paso de corriente eléctrica hasta 2,5 × 1024 veces mayor que la de los buenos conductores eléctricos como la plata o el cobre.
1.3 LEY DE COULOMB.
Introduction:
> El mismo concepto aplica en electrostática.
> Las cargas eléctricas estacionarias inducen Campos eléctricos estáticos (no cambian con el tiempo) a su alrededor.
• De esta forma, otra carga en el campo experimentará una fuerza eléctrica de atracción o repulsión.
> “La fuerza de atracción o repulsión que existe entre 2 cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”.
Expresión matemática de la Ley de Coulomb.
> La ley de coulomb se expresa matemáticamente como:
> El mismo concepto aplica en electrostática.
> Las cargas eléctricas estacionarias inducen Campos eléctricos estáticos (no cambian con el tiempo) a su alrededor.
• De esta forma, otra carga en el campo experimentará una fuerza eléctrica de atracción o repulsión.
> “La fuerza de atracción o repulsión que existe entre 2 cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”.
Expresión matemática de la Ley de Coulomb.
> La ley de coulomb se expresa matemáticamente como:
> Donde Q1 y Q2 son las cargas, R es la separación y k es la constante de proporcionalidad.
> Q se mide en coulombs (C), R en metros (m) y la fuerza se mide en Newton (N).
> k es la constante de proporcionalidad:
El medio afecta la Ley de Coulomb.
> La ecuación anterior de la Ley de Coulomb, sólo es válida cuando las cargas se encuentran en el vacío o aproximadamente si están en el aire.
> Pero si entre las cargas existe una sustancia o medio aislante, la fuerza eléctrica de interacción entre éstas sufrirá una disminución, la cual será mayor o menor dependiendo del medio.
La permitividad.
> La permitividad es determinada por la habilidad de un material de polarizarse en respuesta a un campo eléctrico aplicado y, de esa forma, cancelar parcialmente el campo dentro del material.
La permitividad relativa en la Ley de Coulomb.
> La permitividad (o impropiamente constante dieléctrica) es una constante física que describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio.
1.4 CAMPO ELECTRICO.
El campo eléctrico, en física, es un ente físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor q sufre los efectos de una fuerza eléctrica dada por la siguiente ecuación:
En los modelos actuales, el campo eléctrico se incorpora, junto con el campo magnético, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético Fμν.
Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como en campos magnéticos variables. Las primeras descripciones de los fenómenos eléctricos, como la ley de Coulomb, sólo tenían en cuenta las cargas eléctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell permitieron establecer las leyes completas en las que también se tiene en cuenta la variación del campo magnético.
Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino a través de la ponderación de la fuerza actuante sobre alguna carga. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.
La definición más general e intuitiva acerca del campo eléctrico se la puede estudiar mediante la ley de Coulomb. Sin embargo, una definición más formal y completa acerca del campo requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación se describen ambas.
Definición mediante la ley de Coulomb
Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en direccion radial por una distribucion de carga λ en forma de diferencial de linea (dL), lo que produce un campo eléctrico .
Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la interacción entre dos cargas depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:
1.4.1 INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO.
Donde Q es la carga puntual que genera el campo eléctrico r, la distancia entre la carga que genera el campoy el punto (P) donde se quiere terminar la intensidad del campo. Si se supone que la prueba colocada en (P), se experimentara una fuerza dada por:
Se sabe que el valor del campo en P viene dado por:
Si la fuerza en la primera expresión se reemplaza por la segunda se obtiene:
La anterior formula sirve para calcular el campo eléctrico gnerado por la carga Q a una distancia r. Se observa que el campo depende de la carga que lo genera y de la distancia de la carga al punto donde se calcula.
Se sabe que el valor del campo en P viene dado por:
Si la fuerza en la primera expresión se reemplaza por la segunda se obtiene:
La anterior formula sirve para calcular el campo eléctrico gnerado por la carga Q a una distancia r. Se observa que el campo depende de la carga que lo genera y de la distancia de la carga al punto donde se calcula.
1.4.2 CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCION DE CARGA CONTINUA.
Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga:
En muchas situaciones no se tienen distribuciones discretas de carga, sino que los puntos donde se encuentran las cargas están tan próximos entre sí que puede suponerse que se trata de una distribución continua de cargas. Para poder considerar estos casos, hay que considerar la ley de Coulomb mediante un paso al límite. Esto nos lleva a considerar el concepto de densidad de carga. En efecto, si consideramos un volumen en el que se encuentra una distribución continua de carga con una carga total q, si consideramos un elemento de volumen D V, la cantidad de carga contenida en ese elemento será D q. De este modo, llamamos densidad volúmica de carga al cociente.
1.4.3 LINEAS DE CAMPO ELECTRICO.
Es posible conseguir una representación gráfica de un campo de fuerzas empleando las llamadas líneas de fuerza. Son líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, puesto que tiene magnitud y sentido, se trata de una cantidad vectorial, y las líneas de fuerza o líneas de campo eléctrico indican las trayectorias que seguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado.Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas móviles positivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas las líneas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y mueren en las negativas. Se dice por ello que las primeras son «manantiales» y las segundas «sumideros» de líneas de fuerza.
1.4.4 MOVIMIENTOS DE PARTICULAS CARGADAS EN UN CAMPO ELECTRICO UNIFORME.
Cuando una partícula cargada está en una región donde hay un campo eléctrico experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico .
Si la carga es positiva experimenta una fuerza en el sentido del campo
Si la carga es negativa experimenta una fuerza en sentido contrario al campo
Si el campo es uniforme la fuerza es constante y también lo es la aceleración, aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado podemos obtener la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia
De forma alternativa, podemos aplicar el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo
La energía potencial q(V'-V) se transforma en energía cinética. Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x. En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex.
Movimiento en un campo magnético
Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza dada por el producto vectorial . El resultado de un producto vectorial es un vector de
módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido qvBsen(q)
dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y campo.
y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos. Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial , como en la figura
Si la carga es negativa el sentido de la fuerza es contrario al del producto vectorial .
Dicha partícula en un campo magnético uniforme y perpendicular a la dirección de la velocidad describe órbita circular ya que la fuerza y la velocidad son mutuamente perpendiculares. El radio de dicha órbita puede obtenerse a partir de la aplicación de la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.
Vamos a estudiar tres situaciones en las que una partícula cargada positiva o negativa se mueve en una región donde existe un campo eléctrico, en un campo magnético, o en un campo eléctrico y magnéticos cruzados (perpendiculares entre sí).
El descubrimiento del electrón consta a su vez de dos experiencias
La medida de la relación carga/masa del electrón efectuada por Thomson
La medida de la cantidad fundamental de carga efectuada por Millikan
La separación de isótopos de un determinado elemento mediante un espectrómetro de masas.
La aceleración de iones mediante un ciclotrón.
Si la carga es positiva experimenta una fuerza en el sentido del campo
Si la carga es negativa experimenta una fuerza en sentido contrario al campo
Si el campo es uniforme la fuerza es constante y también lo es la aceleración, aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado podemos obtener la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia
De forma alternativa, podemos aplicar el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo
La energía potencial q(V'-V) se transforma en energía cinética. Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x. En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex.
Movimiento en un campo magnético
Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza dada por el producto vectorial . El resultado de un producto vectorial es un vector de
módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido qvBsen(q)
dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y campo.
y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos. Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial , como en la figura
Si la carga es negativa el sentido de la fuerza es contrario al del producto vectorial .
Dicha partícula en un campo magnético uniforme y perpendicular a la dirección de la velocidad describe órbita circular ya que la fuerza y la velocidad son mutuamente perpendiculares. El radio de dicha órbita puede obtenerse a partir de la aplicación de la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.
Vamos a estudiar tres situaciones en las que una partícula cargada positiva o negativa se mueve en una región donde existe un campo eléctrico, en un campo magnético, o en un campo eléctrico y magnéticos cruzados (perpendiculares entre sí).
El descubrimiento del electrón consta a su vez de dos experiencias
La medida de la relación carga/masa del electrón efectuada por Thomson
La medida de la cantidad fundamental de carga efectuada por Millikan
La separación de isótopos de un determinado elemento mediante un espectrómetro de masas.
La aceleración de iones mediante un ciclotrón.
1.5 LEY DE GAUSS Y SUS PROPIEDADES.
En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.
Flujo del campo eléctrico
Artículo principal: Flujo eléctrico
Flujo eléctrico a través de una superficie esférica.
El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
Flujo del campo eléctrico
Artículo principal: Flujo eléctrico
Flujo eléctrico a través de una superficie esférica.
El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb:
La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.
Como el área total de la esfera es 4πr2 el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:
la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)
Si el área ΔA no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a ΔΩ, se busca la proyección normal, que es:
Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:
De esta manera ΔΩ es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba ΔΩ = 4π para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:
que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss.
Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss
Forma diferencial de la ley de Gauss
Tomando la ley de Gauss en forma integral.
Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda
Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:
Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como
Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.
Forma integral de la ley de Gauss
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:
donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío.
Interpretación
La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday sin cargas eléctricas en su interior. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell.
Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si esta fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.
Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.
Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.
Aplicaciones
Distribución esférica de carga
Ley de Gauss para el magnetismo
Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como
Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.
En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como
Donde ρm densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday.
Analogía gravitacional
Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe
siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.
Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).
1.6 POTENCIAL ELECTRICO.
En el campo gravitatorio, las cargas "gravitatorias" son las masas. Una masa situada a cierta altura, tiende a caer hacia el suelo, (atraida por la masa de la Tierra) y es capaz de desarrollar más trabajo cuanto más alta se la coloque, se dice entonces que tiene más potencial gravitatorio.
En el campo eléctrico, esa "altura" eléctrica (esa capacidad de desarrollar un trabajo), se denomina POTENCIAL ELECTRICO, y las cargas tienden a "caer" desde los potenciales más altos a los más bajos, desarrollando un trabajo.
Igualmente en Electrostática, hay que fijar un origen de potenciales que, por otra parte, será arbitrario. Algunas veces se toma como origen el potencial de la Tierra, y se dice entonces que la Tierra está a potencial cero. Otras veces es el infinito el que se toma como punto de referencia.
De todos modos, para nosotros ese no va a ser lo importante, ya que lo que más nos interesa no es el potencial a que está la carga, sino la DIFERENCIA DE POTENCIAL, es decir la "diferencia de alturas" o diferencia entre los potenciales de dos puntos entre los cuales se va a mover nuestra carga.
Así pues, se define la diferencia de potencial (d.d.p.) entre dos puntos como el trabajo que realiza la unidad de carga (el culombio) al caer desde el potencial más alto al más bajo.
Los potenciales y diferencias de potencial, en el Sistema Internacional, se expresan en VOLTIOS.
Divisores más usuales del voltio:
Voltios
milivoltios
microvoltios
1 Voltio (V) =
1
103
106
1 milivoltio(mV) =
10-3
1
103
1 microvoltio(mV) =
10-6
10-3
1
El múltiplo más usual es el Kilovoltio. 1 KV = 1.000 V.
16.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL ELECTRICO.
En el campo gravitatorio, las cargas "gravitatorias" son las masas. Una masa situada a cierta altura, tiende a caer hacia el suelo, (atraida por la masa de la Tierra) y es capaz de desarrollar más trabajo cuanto más alta se la coloque, se dice entonces que tiene más potencial gravitatorio.
En el campo eléctrico, esa "altura" eléctrica (esa capacidad de desarrollar un trabajo), se denomina POTENCIAL ELECTRICO, y las cargas tienden a "caer" desde los potenciales más altos a los más bajos, desarrollando un trabajo.
Como se desprende de la comparación gravitatoria, el concepto de potencial es relativo: (por ejemplo, cuando hablamos de la altura de un edificio, nos referimos a la altura respecto a la calle, sin embargo, cuando hablamos de la altura de una montaña, nos referimos a la altura sobre el nivel del mar) así pues en algún punto habrá que fijar la referencia.
Igualmente en Electrostática, hay que fijar un origen de potenciales que, por otra parte, será arbitrario. Algunas veces se toma como origen el potencial de la Tierra, y se dice entonces que la Tierra está a potencial cero. Otras veces es el infinito el que se toma como punto de referencia.
De todos modos, para nosotros ese no va a ser lo importante, ya que lo que más nos interesa no es el potencial a que está la carga, sino la DIFERENCIA DE POTENCIAL, es decir la "diferencia de alturas" o diferencia entre los potenciales de dos puntos entre los cuales se va a mover nuestra carga.
Así pues, se define la diferencia de potencial (d.d.p.) entre dos puntos como el trabajo que realiza la unidad de carga (el culombio) al caer desde el potencial más alto al más bajo.
El potencial se representa con la letra V. El potencial del punto A se representa por VA (V sub A). y VA-VB (V sub A menos V sub B) 0 simplemente VAB (V sub AB) es la diferencia de potencial entre el punto A y el punto B (en ese sentido y no al revés). Ya que VBA es igual a -VAB. Si VAB es, por ejemplo 5, VBA será -5.
Los potenciales y diferencias de potencial, en el Sistema Internacional, se expresan en VOLTIOS.
Divisores más usuales del voltio:
Voltios
milivoltios
microvoltios
1 Voltio (V) =
1
103
106
1 milivoltio(mV) =
10-3
1
103
1 microvoltio(mV) =
10-6
10-3
1
El múltiplo más usual es el Kilovoltio. 1 KV = 1.000 V.
A la diferencia de potencial también se le suele llamar VOLTAJE o TENSION.
16.2 OBTENCION DEL VALOR DE CAMPO ELECTRICO A PARTIR DEL POTENCIAL ELECTRICO.
La cantidad U/qo recibe el nombre de potencial eléctrico o simplemente el potencial, V. El potencial eléctrico en cualquier punto en un campo eléctrico es:
V=U/qo
El potencial eléctrico es una cantidad escalar.
Diferencia de Potencial: La diferencia de potencial, "V=Vb -Va , entre los puntos A y B, se define como el cambio de la energía potencial dividida entre la carga de prueba qo
"V = " U/qo = - " E ds
La diferencia de potencial "V es igual al trabajo por carga unitaria que un agente externo debe efectuar para mover una carga de prueba de A a B sin cambio en la energía cinética de la carga de prueba.
V=U/qo
El potencial eléctrico es una cantidad escalar.
Diferencia de Potencial: La diferencia de potencial, "V=Vb -Va , entre los puntos A y B, se define como el cambio de la energía potencial dividida entre la carga de prueba qo
"V = " U/qo = - " E ds
La diferencia de potencial "V es igual al trabajo por carga unitaria que un agente externo debe efectuar para mover una carga de prueba de A a B sin cambio en la energía cinética de la carga de prueba.
Definición de un Volts: Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de carga, la unidad del SI del potencial es joules por coulomb, definido igual a una unidad llamada el volt (V):
1V = 1J / 1C
Es decir, 1J de trabajo debe efectuarse para llevar una carga de 1C a través de una diferencia de potencial de 1V.
1V = 1J / 1C
Es decir, 1J de trabajo debe efectuarse para llevar una carga de 1C a través de una diferencia de potencial de 1V.
El Electrón volt: Se define como la energía que un electrón o protón gana o pierde al moverse a través de una diferencia de potencial de 1V.
1eV = 1.60 X 10E-19 J
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